Si estás interesado en las matemáticas y quieres conocer más sobre las progresiones geométricas, estás en el lugar adecuado. En este artículo te explicaremos qué es una progresión geométrica, sus propiedades y aplicaciones, y te dejaremos algunos ejercicios resueltos para que puedas practicar.

¿Qué es una progresión geométrica?

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón. Esta constante puede ser positiva o negativa, dependiendo si la sucesión crece o decrece.

Definición

Una progresión geométrica se define como: a, ar, ar^2, ar^3, …, ar^n, …

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Donde a es el primer término y r es la razón.

Ejemplos

  • 2, 4, 8, 16, 32, … (con razón 2)
  • 100, 50, 25, 12.5, 6.25, … (con razón 1/2)
  • -3, 6, -12, 24, -48, … (con razón -2)

Propiedades de las progresiones geométricas

Razón

La razón de una progresión geométrica es la constante que se multiplica por cada término para obtener el siguiente. Se denota por r y se calcula dividiendo cualquier término de la sucesión por el anterior: r = an / a(n-1).

Suma de términos

La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica se puede calcular con la fórmula: S_n = a(1-r^n) / (1-r).

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Convergencia y divergencia

Una progresión geométrica es convergente si la razón r está entre -1 y 1; es decir, si la sucesión tiende a un límite finito a medida que n tiende a infinito. Si r es mayor que 1 o menor que -1, la progresión es divergente.

Aplicaciones de las progresiones geométricas

Intereses compuestos

El cálculo de intereses compuestos se puede modelar con una progresión geométrica, donde el capital inicial es el primer término y la razón es el interés.

Crecimiento poblacional

El crecimiento de una población también se puede modelar con una progresión geométrica, donde el primer término es la población inicial y la razón es la tasa de crecimiento.

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Problemas de física

En física, las progresiones geométricas se utilizan para modelar el decaimiento radioactivo de materiales o la atenuación de una señal electromagnética.

Ejercicios resueltos

1) ¿Cuál es la razón de la progresión geométrica 3, 9, 27, 81, …?

Solución: Para encontrar la razón, dividimos cualquier término por el anterior: 9/3 = 27/9 = 81/27 = 3, por lo que la razón es 3.

2) ¿Cuál es la suma de los primeros 5 términos de la progresión geométrica 2, 4, 8, 16, …?

Solución: Usando la fórmula de la suma de términos, tenemos: S_5 = 2(1-2^5) / (1-2) = 62.

Conclusión

Como has podido ver, las progresiones geométricas son una herramienta muy útil en diversas áreas, desde las finanzas hasta la física. Conocer sus propiedades y aplicaciones te permitirá entender mejor el mundo que nos rodea.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la razón de una progresión geométrica?

La razón se calcula dividiendo cualquier término de la sucesión por el anterior: r = an / a(n-1).

¿Qué es una progresión geométrica infinita?

Una progresión geométrica infinita es aquella que tiene un número infinito de términos.

¿Cómo se determina si una progresión geométrica es convergente o divergente?

Una progresión geométrica es convergente si la razón r está entre -1 y 1; es decir, si la sucesión tiende a un límite finito a medida que n tiende a infinito. Si r es mayor que 1 o menor que -1, la progresión es divergente.

¿En qué se diferencia una progresión geométrica de una aritmética?

En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón; en una aritmética, cada término se obtiene sumando una constante llamada diferencia.